如何从粒子的角度理解概率密度传输

概率密度$p_t(x)$的传输方程为：

如何理解这个方程？ 我们考虑空间$x$处的粒子密度是$p_t(x)$，在这个空间内存在矢量场$\mathbf{u}_t(x)$，这个矢量场表示粒子数量在空间中的流动速度（单位时间单位面积的朝着矢量方向流出粒子数量）。

根据散度的定义，$\nabla \cdot \mathbf{u}_t(x)$表示单位时间流出$x$处单位体积的粒子数量。在$x$处单位体积内的粒子数量为$p_t(x)$。该体积内，单位时间流出的粒子数量等于单位时间减少的粒子数量，因此可以构建恒等式：

$\mathbf{u}_t(x)$的定义为粒子通量，所以在上面空间中的矢量场为通量场或者说“流量场”。在概率密度传输中，$\mathbf{v}_t(x)$指的是粒子速度场。

所以：

所以有：

由于我们把概率理解成了粒子密度，所以还需要加入归一化条件：

为什么“粒子通量 = 粒子速度 * 粒子密度”

在电磁学里面，电流密度（载流子电荷通量）、载流子平均速度和电荷密度满足下面的关系：

取空间上一个圆柱形微元，其底面积为$A$，高度为$dl$，那么其体积为$A \cdot dl$。在其中有载流子数量为$dN$。粒子从圆柱底进入，从圆柱顶流出的时间为$dt = \mathbf{v}_e dl$。所以：

$\frac{qdN}{Adt}$代表单位时间，单位面积流出的电荷数量。所以$\frac{qdN}{Adt} = \mathbf{J}_e$。因此有粒子通量等于粒子速度乘以粒子密度。

凝练概率密度传输的理解

在空间中有标量概率密度场$p_t(x)$，在空间中存在矢量场$\mathbf{v}_t(x)$，这个矢量场表示随机变量变化的速度场。所以概率通量为：

由于密度场是守恒的，所以有连续性方程：